INTEGRALES

ANTI DERIVADA
En cierta forma ya se ha familiarizado con las operaciones inversas. la adición y la sustracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la división, ademas de la potenciación y la extracción de raíces. aquí nos encargaremos de estudiar la operación inversa de la diferenciación denominada antiderivación.

dada una funcion f(x), hallar una funcion F(x) tal que F '(x)=f(x). llamamos a F(x) una antiderivada de f(x) en otros libros tambien es llamada la primitiva de f(x)

ejemplo 1:si F es la funcion definida por



                            $$F\left( x \right) ={ 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+5$$entonces $$F^{ ' }\left( x \right) =6{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }$$ De modo que si f es la funcion definida por.
$$f\left( x \right) =6{ x }^{ 2 }+2x$$ entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. si G es la funcion definida por $$G\left( x \right) =2x^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-17$$ entonces G también des una antiderivada de f porque $$G'\left( x \right) =6x^{ 2 }+{ 2x }$$en realidad,cualquier función de terminada por$$2{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+C$$ donde C es una constante, es una antiderivada de f.

la antiderivacion es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. se escribe  la operación de la antiderivada de la siguiente manera.
$$\int { f\left( x \right) dx } =F\left( x \right) +C$$

retomemos nuestro primer ejemplo 1.
$$F\left( x \right) ={ 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+5;\quad f\left( x \right) ={ 6x }^{ 2 }+2x$$ entonces
$$\int { { (6x }^{ 2 } } +2x)dx={ 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+c$$

Aqui les dejo algunas formulas basicas de integracion

1. $$ \int { dx } =x+c$$
2. $$\int { af\left( x \right) dx } =a\int { f\left( x \right) dx } \quad donde\quad a\quad es\quad una\quad constante$$
3. $$\int { \left[ f\left( x \right) +g\left( x \right)  \right] dx } =\int { f\left( x \right) dx+ } \int { g\left( x \right)dx } $$
4. $$\int { { x }^{ n }dx } =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } +c\quad n\neq 1$$
5. $$\int { { e }^{ x }dx } ={ e }^{ x }+c$$
6. $$\int { \sin { xdx }  } =-\cos { x }+c $$
7. $$\int { \cos { xdx }  } =\sin { x } +c$$
8. $$\int { \tan { xdx }  } =ln\left| \sec { x }  \right| +c$$
9. $$\int { \cot { xdx }  } =ln\left| \sin { x }  \right| +c$$
10. $$\int { \sec { xdx }  } =ln\left| \sec { x\tan { x }  }  \right| +c$$
11. $$\int { \sec ^{ 2 }{ x } dx } =\tan { x } +c$$
12. $$\int { \csc ^{ 2 }{ xdx }  } =-\cot { x\quad +\quad c } $$
13. $$\int { \sec { x\tan { xdx }  }  } =\sec { x\quad +\quad c } $$
14. $$\int { \csc { x\cot { xdx }  }  } =\quad -\csc { x\quad +c } $$
15. $$\int { \frac { dx }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  }  } =\arcsin { \frac { x }{ a }  } +c$$
16. $$\int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }  } =\arctan { \frac { x }{ a }  } +c$$
17. $$\int { \frac { dx }{ x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }  }  } =\frac { 1 }{ a } arcsec\frac { \left| a \right|  }{ x } +c$$
   

en el siguiente vídeo se puedes visualizar como se resuelve estas y otras integrales por medio de " integrales directas"  se aplica la regla numero 3 y 4 de la tabla anterior.

 

Ahora realiza la siguiente actividad